说明：本文主要介绍晶格热导率与电子热导率的热流来源、第一性原理计算输入、电导率估算条件，以及掺杂和温度对两类热输运的影响。
晶格热导率与电子热导率的基本定义是什么？
晶格热导率 κL 描述晶格振动携带的热流，电子热导率 κe 描述电子与空穴携带的热流。晶体中的集体振动量子称为声子，一个频率为 ω 的模式每增加一个声子，振动能量增加 ℏω。电子侧则由占据电子态的能量分布和运动产生热流，两类激发都可以在温差下输运能量。
在接近局域热平衡、温度梯度较小的扩散输运中，沿指定方向有 JQ=−κ∇T。忽略其他热流贡献时，总热导率写成κ=κL+κe，单位为 W m−1 K−1。JQ 是单位面积上的热流功率；低对称晶体中的 κ 是张量，比较两类分量时使用相同晶向、温度和归一化体积。
图1. 二阶、三阶力常数及 Wannier 空间信息进入热、电和热电输运求解的计算流程。DOI：10.1038/s41524-022-00710-0
电子携带电荷，声子记录集体振动能量，通常不承担净电荷输运。开路条件下电流为零，电子热流仍可存在：不同能量的载流子对电流和热流有不同权重，温差产生的热电场调整电荷流，却未将所有能量流同时抵消。这里的“电子热导率”描述能量输运，不要求样品接入一条闭合电路。
绝缘体中可移动电子和空穴较少，常由晶格振动主导传热；铜等金属在室温附近常有较大的电子贡献。导电与传热分别统计电荷和能量，电阻较大的晶体仍可能依靠声子高效传热。材料类别只给出可能的主导激发，实际比例还受温度、载流子浓度、晶粒和散射过程影响。
两类热导率的计算为什么需要不同输入？
声子输运的弛豫时间近似沿 x 方向写成 κL,xx=(VcNq)−1ΣλCλvλ,x2τλ。Vc 是原胞体积，Nq 是采样波矢数，λ 标记波矢和声子支。模态热容 Cλ、群速度 vλ,x 与寿命 τλ分别描述该模式的能量响应、传播速度和散射弛豫，式中求和包含所采样的全部声子模式。
二阶力常数确定声子频率与本征矢，群速度来自色散的波矢导数。二维氢硼化物的色散中，声学支和光学支的斜率、频率范围不同；声子态密度统计频率附近的模式数量。一个频段拥有较多模式，仍须乘上热容、速度和寿命才得到热流贡献。色散平坦的模式群速度较小，部分有明显色散的光学支也能参与传热。
图2. 二维氢硼化物的原子结构、声子色散和声子态密度。DOI：10.1038/s41524-019-0183-2
声子寿命来自非谐声子相互作用、同位素、缺陷和晶界等散射。三阶力常数进入三声子过程，某些强非谐材料还需四声子过程或温度相关频率。谐近似声子谱提供模式，非谐与其他散射限定寿命。上面的求和采用各模式独立弛豫；迭代输运方程会处理模式分布之间的耦合，结果未必与同一组寿命的独立求和一致。
电子侧从能带 εn,k、化学势 μ 和散射出发。能带群速度为 vn,k=ℏ−1∇kεn,k，热流还按电子态相对 μ 的能量加权。金属中主要输运态集中在化学势附近的热展宽范围，半导体则随 μ 与带边的相对位置变化。电子–声子、带电杂质和晶界散射改变载流子的输运弛豫时间，仅有 DOS 或一条能带曲线无法确定绝对热导率。
铜薄膜厚度减小后，表面和晶界增加电子散射，电子弛豫时间与热导率随之变化。相关计算把第一性原理电子–声子散射与尺寸散射结合，再与测得热导率及电阻估算结果比较。体相能带相近的铜样品，微结构仍会改变电子热流；测量中得到的面内热导率、由面内与跨面值构造的有效热导率，也分别采用各自的几何定义。
图3. Cu 薄膜的面内和有效热导率、电子热导率估算及电子弛豫时间随厚度的变化。DOI：10.1038/s41467-024-53441-9
在忽略拖曳的单一载流子输运模型中，开路电子热导率满足 κe=κ0,e−TσS2，κ0,e 是零电场条件下的热响应，σ 为电导率，S 为 Seebeck 系数；减去的项来自零电流条件。若计算仅采用常数弛豫时间并输出 κe/τ，这仍是按 τ 归一的量，绝对数值要由相应的电子散射时间确定。
电导率能直接换算电子热导率吗？
Wiedemann–Franz 关系写成κe=LσT，L 是洛伦兹数。简并载流子、近似弹性散射以及费米能级附近输运分布变化平缓时，L 可接近 Sommerfeld 值 L0=π2kB2/(3e2)≈2.44×10−8 W Ω K−2。这一定值有电子统计和散射条件，式中的 κe 也只代表载流子贡献。
TaP 的磁场测量利用载流子热输运对磁场的响应分离电子项，并以计算和实测声子色散约束晶格部分。相同样品中的电子热导率和洛伦兹比随温度、磁场改变，声子贡献在分析中采用近似不随磁场变化的条件。磁场分离因此还涉及载流子迁移率、磁场强度和声子是否受场影响。
图4. TaP 的磁场热导分离、声子色散、电子热导率和洛伦兹比。DOI：10.1038/s41467-020-19850-2
电荷流统计载流子的电荷通量，热流还按各电子态相对化学势的能量加权。近似弹性散射主要改变运动方向，非弹性散射还改变载流子能量；电流和热流的弛豫过程由不同输运方程权重控制。非简并统计、多带输运和非弹性散射会使 L 偏离 L0。把同一常数套用于金属、弱掺杂半导体及不同温度的窄带隙材料，会改变从总热导率扣除的电子份额。
Bi0.4Sb1.6Te3 的两组样品中，采用固定 L0、按简并程度调整的 L 或高磁场分离，得到的晶格热导率曲线不同。改变电子项的估算方法，剩余晶格项也会改变。其中高场分离受迁移率和场强限制，接近室温的晶格数值由低温结果配合模型外推，图内所有曲线并非同一种直接测量。
图5. Bi0.4Sb1.6Te3 两组样品的总热导率及不同分离方法得到的晶格热导率。DOI：10.1038/s41467-025-66578-y
若 κL=κ−LσT，则洛伦兹数误差引入 δκL=−σTδL，σT 越大，同样的 δL 对晶格分量影响越大。增加假定 L 会增加扣除的电子热导率，使剩余晶格值下降。用总热导率 κ 构造的 κ/(σT) 还含声子贡献，与只使用 κe 定义的 L 有不同数值来源。
温度和掺杂为什么会同时改变两类热导率？
窄带隙半导体升温后，热激发的少数载流子增加，电子与空穴可以让电流相互抵消而热流相加。分开统计两类载流子时，常写κ=κL+κn+κp+κb；κb 是双极热导，κn、κp 是各载流子的单极贡献。双极项来自两类载流子共同满足开路条件，属于电子体系的热输运。
在两载流子模型中，κb=T[σnσp/(σn+σp)](Sn−Sp)2。少数载流子的电导率和两类 Seebeck 系数之差共同控制双极项。Si 与填充方钴矿的温度曲线显示，升温后这一贡献可增加；曲线中的实验估算值还包含载流子统计和晶格项温度模型的分离假设。
图6. Si 与 Yb0.7Fe3NiSb12 的双极热导率温度曲线，以及多种半导体的模型值与实验估算值对照。DOI：10.1038/srep10136
若多带电子输运计算已经将电子和空穴合并，在总电流为零的条件下求得完整 κe，双极贡献已包含其中，再加一遍 κb 会重复统计。掺杂还可通过质量无序、局域成键和电子–声子散射改变声子寿命；载流子浓度增加与晶格热导率下降之间，具体关联要由参与的散射过程限定。
n 型 Si 的计算比较了2.75×1014 与 2×1019 cm−3两种载流子浓度。高浓度下，声子–电子散射使晶格热导率降低，低温区的下降更明显。增加电子浓度改变了声子碰撞和弛豫，图中的两条计算曲线仍表示晶格热导率；电子拖曳对这组 Si 声子输运计算的修正较小。
图7. 两种 n 型载流子浓度下 Si 的声子热导率计算曲线与高纯自然同位素 Si 的实验数据。DOI：10.1038/s41524-022-00710-0
在这组 Si 计算中，升温后声子–声子散射相对于声子–电子散射的作用增强，两种浓度曲线的差别缩小。超快激发则可能让电子温度 Te 与晶格温度 TL 分离，两类空间热流分别受各自温度梯度驱动。在双温模型中，局域能量交换功率密度写成 G(Te−TL)，其中 G 的单位为 W m−3 K−1。
